در ادامه ی مقاله ی قبلی به تولید گزاره های جدید از طریق عملگر ها می پردازیم.

عبارت شرطی p → q، گزاره ی “اگر P،آنگاه q” است. این گزاره زمانی نادرست است که p درست و q نادرست باشد و در غیر این صورت درست است. در گزاره ی p → q، گزاره ی p مقدم و گزاره ی q تالی نامیده می شود. عبارت p → q یک عبارت شرطی نام دارد زیرا بیان می کند که «q درست است به شرط این که p درست باشد.»

به دلیل نقش بسیار مهم عبارات شرطی در اثبات های ریاضی، اصطلاحات متنوعی برای بیان عبارت شرطی p → q استفاده می شود. در ریاضیات گسسته شما با اکثر اصطلاحات زیر برای بیان این عبارت شرطی روبرو خواهید شد.
“اگر p، آنگاه q”
“اگر q ،p”
“p برای q کافی است.”
“q اگر p”
“q زمانی که p”
“یک شرط لازم برای q ،p است.”
“p بر q دلالت دارد.”
“p فقط اگر q”
“یک شرط کافی برای p ،q است.”
“q برای p لازم است.”
“q از p تبعیت می کند.”
“q مگر این که p~”

یک راه مفید برای فهمیدن مقدار درستی یک عبارت شرطی این است که به یک تعهد یا قرار داد فکر کنید. برای مثال فرض کنید استاد دانشگاه برای شما شرط زیر را تعیین می کند:
“اگر در امتحان پایانترم نمره ی ۲۰ بگیرید، نمره ی نهایی شما ۲۰ خواهد شد.”

اگر شما در امتحان پایانترم نمره ی ۲۰ بگیرید انتظار دارید نمره ی نهایی شما ۲۰ باشد. اما اگر در امتحان پایانترم نمره ۲۰ نگیرید، بسته به فاکتور های دیگر، نمره نهایی شما ممکن است ۲۰ باشد یا نباشد. در این حالات مقدار عبارت شرطی p → q درست است. اما اگر شما در امتحان پایانترم نمره ی ۲۰ بگیرید و استاد به شما نمره ی نهایی ۲۰ ندهد، تعهد از بین رفته و مقدار عبارت شرطی p → q نادرست خواهد شد.

گزاره ی “عکس نقیض” گزاره ی p → q با q → ~p~ نشان داده می شود و مقدار درستی آن با مقدار درستی p → q برابر است. زمانی که دو گزاره ارزش درستی برابری دارند می گوییم: “دو گزاره هم ارزند.” بنابراین هر گزاره با عکس نقیض خود هم ارز است.

گزاره ی دو شرطی p ↔ q به صورت “p اگر و فقط اگر q” خوانده می شود و زمانی درست است که p و q هر دو درست یا هر دو نادرست باشند. به عبارت دیگر این گزاره ی دو شرطی زمانی درست است که هر دو گزاره ی p → q و q → p درست باشند. به همین علت از عبارت “اگر و فقط استفاده می کنیم و نماد این گزاره نیز از ترکیب دو نماد → و ← به دست می آید. گزاره ی دو شرطی با عبارت “p برای q لازم و کافی است” نیز به کار می رود.

منتظر مقاله های بعدی ریاضیات گسسته باشید.

قهرمان دنیای خودت باش.