منطق پایه و اساس تمام استدلال های ریاضی و کامپیوتری است. همچنین منطق دارای ابزار های کاربردی برای طراحی ماشین های کامپیوتری٬ هوش مصنوعی٬ برنامه نویسی کامپیوتری٬ زبان های برنامه نویسی و زمینه های دیگر علوم کامپیوتر است.

همواره در ریاضیات٬ به تضمین کننده ای برای درستی استدلال ها نیازمندیم٬ که به آن اثبات می گویند. زمانی که یک عبارت ریاضی را اثبات کنید٬ به آن عبارت نظریه می گوییم. مجموعه ی نظریه ها در مورد یک موضوع خاص مشخص می کند که درباره ی آن موضوع چه می دانیم. برای یادگیری یک موضوع خاص در ریاضیات به یادگیری نظریه ها و اثبات درستی این نظریه ها نیازمندیم.

اگر چه دانستن اثبات نظریه ها در تمام ریاضیات مهم است٬ اما این مطلب در علوم کامپیوتر اهمیت ویژه ای دارد. در واقع ما از اثبات ها استفاده می کنیم تا نشان دهیم برنامه های کامپیوتری همواره خروجی درستی نسبت به هر ورودی احتمالی دارند و الگوریتم ها همیشه نتایج درستی تولید می کنند. همچنین برای تولید هوش مصنوعی و پایه گذاری امنیت یک سیستم به اثبات ها نیازمندیم.

قوانین منطق معنای واضحی به عبارات ریاضی می دهند. این قوانین برای تمایز بین استدلال درست و نادرست ریاضی استفاده می شوند. از آن جایی که در ریاضیات گسسته نیازمند فهم و تولید استدلال های ریاضی هستیم٬ معمولا کتاب ها و دوره های آموزشی ریاضیات گسسته با منطق گزاره ای و اثبات شروع می شوند.

کوچک ترین عضو در مطالعه ی منطق ریاضی، گزاره ها هستند. گزاره یک جمله ی توضیحی است که یا درست است یا غلط و نه هردو. برای نام گذاری گزاره ها معمولا از حروف p,q,r,s,… استفاده می کنیم. برای مثال جملات زیر گزاره هستند: ‌‌‍‍

۱)  تهران پایتخت ایران است.

۲)  بغداد پایتخت مصر است.

۳)  ۱ + ۱ = ۲

۴)  ۲ + ۲ = ۳

گزاره های ۱ و ۳ درست و گزاره های ۲ و ۴ نادرست هستند. اما جملات زیر را در نظر بگیرید:

۱)  ساعت چند است؟

۲)  این را با دقت بخوان.

۳)  X + 1 = 2

جمله های اول و دوم گزاره نیستند چون چیزی را توضیح نمی دهند. همچنین جمله سوم نیز گزاره نیست زیرا نه درست است و نه غلط.

در ادامه ی مباحث منطق گزاره ای به تولید گزاره های جدید می پردازیم. همواره می توانیم با یک یا دو یا چند گزاره و عملگر های منطقی گزاره های جدیدی بسازیم. اولین عملگر٬ عملگر نقیض است که اگر گزاره ای به نام p داشته باشیم٬ نقیض آن را با علامت p~ نشان داده و ارزش درستی آن مخالف ارزش درستی گزاره p است.

عملگر دوم عملگر عطف بوده و اگر دو گزاره به نام های p و q داشته باشیم عطف p و q را با p^q نشان داده و به معنای p و q می باشد و تنها زمانی درست است که p و q هر دو درست باشند.

عملگر سوم عملگر فصل است و با p\/q نشان داده می شود. و به معنای p یا q است و زمانی درست است که حداقل یکی از گزاره های p یا q درست باشد.

عملگر چهارم عملگر “یای انحصاری” (exclusive or) است که با نماد ⊕ نشان داده می شود و اگر دو گزاره به نام های p و q داشته باشیم، یای انحصاری p و q به صورت p ⊕ q نوشته شده و تنها زمانی درست است که فقط یکی از p یا q درست باشد و در غیر این صورت نادرست است.

منتظر مقاله های بعدی ریاضیات گسسته باشید.

قهرمان دنیای خودت باش.