جدول درستی (ریاضیات گسسته)
همانگونه که در مقالات قبلی ریاضیات گسسته خواندیم، گزاره، جمله ای است خبری، که یا درست است یا غلط و نه هردو. همچنین می توانیم با استفاده از عملگر های منطقی و ترکیب گزاره های موجود گزاره های جدیدی بسازیم که ارزش درستی آن ها به درستی گزاره های اولیه وابسته است. از آن جایی که می توان با این عمل گزاره های بسیار پیچیده ای ساخت، به ابزاری نیازمندیم تا ارزش درستی این گزاره ها را به دست آوریم. جدول درستی ابزار مورد نظر ماست.
جدول درستی (جدول صحت) ابزاری ست که در به دست آوردن ارزش درستی یک گزاره به ما کمک می کند. اگر در گزاره ی مورد نظر از k گزاره ی پایه استفاده کنیم، k ستون اولیه ی جدول به هر کدام از این k گزاره اختصاص می یابد. همچنین این جدول دارای ۲ به توان k سطر است. زیرا هر کدام از k گزاره دارای دو حالت درست یا نادرست هستند. بنابراین ۲ به توان k حالت داریم و برای هر حالت یک سطر در نظر میگیریم. ابتدا با چند مثال ساده آغاز می کنیم و در ادامه نحوه ی رسم جدول درستی برای گزاره های پیچیده تر را آموزش می دهیم.
جدول درستی برای گزاره ی p~:
در این گزاره تنها یک گزاره ی پایه (p) وجود دارد. بنابراین این جدول دارای ۲ سطر است. در سطر اول مقدار p برابر T یا همان درست (True) قرار گرفته و در سطر بعدی حالت دوم یا نادرست (False) وجود دارد.
جدول درستی برای گزاره ی p ^ q:
در این گزاره دو گزاره ی پایه وجود دارد. بنابراین این جدول دارای ۴ سطر است. همچنین دو سطر اول به گزاره های پایه اختصاص داده شده تا تمامی حالات ممکن درستی، بررسی شود. در ستون سوم ارزش درستی این گزاره به ازای درستی گزاره های پایه قرار دارد.
جدول درستی برای گزاره ی p ∨ q:
جدول درستی این گزاره نیز مانند گزاره ی قبلی دارای ۴ سطر و ۳ ستون است. با این تفاوت که در این گزاره در دو حالتی که یکی از دو گزاره ی پایه درست باشند نیز نتیجه درست است.
جدول درستی برای گزاره ی p ⊕ q:
جدول درستی این گزاره نیز مانند گزاره های قبلی دارای 4 سطر و 3 ستون است. با این تفاوت که در این گزاره تنها در دو حالتی که فقط یکی از گزاره های پایه درست باشد نتیجه درست است.
جدول درستی برای گزاره ی p → q:
جدول درستی این گزاره نیز 4 سطر و 3 ستون دارد. این گزاره تنها زمانی نادرست است که مقدم درست و تالی نادرست باشد.
جدول درستی برای گزاره ی p ↔ q:
جدول درستی این گزاره نیز مانند گزاره ی بالا 4 سطر و 3 ستون دارد. این گزاره زمانی که دو گزاره ی پایه ارزش درستی برابر داشته باشند درست است.
حال با ذکر دو مثال نحوه رسم جدول درستی برای گزاره های پیچیده را آموزش می دهیم.
مثال 1: شکل زیر جدول درستی گزاره ی q → ~p~ را نشان می دهد.
همانطور که جدول می بینید در گزاره ی اصلی 2 گزاره پایه و در جدول 4 سطر داریم. سپس گزاره را به گزاره های کوچک تر تقسیم کرده و برای هر کدام یک ستون در نظر می گیریم. در این مثال ابتدا مقادیر درستی گزاره ی q~ و سپس گزاره ی p~ را هر کدام در یک ستون محاسبه کرده و در نهایت مقادیر درستی گزاره ی نهایی را در ستون آخر به دست می آوریم. با مقایسه جدول درستی این گزاره و گزاره ی p → q می توانیم در یابیم که این دو گزاره هم ارزند.
مثال 2: شکل زیر جدول درستی گزاره ی p ∨ q) ∧ r) را نشان می دهد.
همانطور که در جدول می بینید، در گزاره ی اصلی 3 گزاره ی پایه و در جدول 8 سطر داریم تا تمام حالات 3 گزاره ی پایه را بتوانیم بررسی کنیم. سپس گزاره را به گزاره های کوچک تر تقسیم کرده و برای هر کدام یک ستون در نظر می گیریم. در این مثال نیز ابتدا گزاره ی داخل پرانتز یعنی p ∨ q را در نظر گرفته و ستون مربوط به آن را رسم کرده و مقادیر آن را حساب می کنیم. سپس با رسم ستون گزاره ی اصلی مقادیر ستون p ∨ q را با مقادیر ستون r با استفاده از عملگر (^) and می کنیم و نتیجه را در ستون نهایی می نویسیم.
منتظر مقاله های بعدی ریاضیات گسسته باشید.
قهرمان دنیای خودت باش.
دیدگاهتان را بنویسید
برای نوشتن دیدگاه باید وارد بشوید.