احتمالا با مفهوم ماتریس به عنوان یکی از پرکاربرد ترین مفاهیم ریاضی آشنا باشید . با ماتریس در هر درسی از جبرخطی عددی تا آنالیزعددی و نظریه گراف ها درگیر هستیم .ما با مفهوم ماتریس یا به عنوان دیگر شاید آرایه های دو بعدی در رمزنگاری نیز سر و کار داریم . از استفاده هایی که میتوان به آن اشاره کرد تغییر مکان حروف در یک رشته به عنوان ساده ترین کاربرد است . همچنین میتوان از عملگر های ریاضی و عمل های مخصوص ماتریس نیز استفاده برد تا یک الگوریتم کارا و امن ایجاد کرد . البته کارا و امن بودن یک الگوریتم کاملا به پایه ریاضی آن و در واقع حل کردن آن در صورت نداشتن یکی پایه های اصلی مسئله برمیگردد .

از روشهای رمز که میتوان در آن استفاده از ماتریس ها رو به وضوح مشاهده کرد ، روش Hill هست . این روش به طور خاص هم برای کلید و هم برای متن اصلی از ماتریس ها استفاده میکند . پایه اصلی آن جبر خطی عددی هست و از عمل های مربوط به ماتریس مانند معکوس ماتریس و ضرب ماتریس در خود استفاده میکند . از لحاظ امنیت این الگوریتم که بر پایه جبر خطی است امن نیست و آسیب پذیر به حملات Known Plain Text (متن آشکار) آسیب پذیر است . (البته در بعضی مقاله ها به عنوان Crib Analysis هم نام برده میشه) به این صورت که شخص حمله کننده چند نمونه از رشته ها قبل و بعد از اجرا شدن الگوریتم روی آن ها را دارد و با بررسی آن به یک کلید (در مورد Hill) یا الگوریتم واحد (به طور کلی) میرسد . به شکل کلی روش Hill را با تشکیل چند معادله خطی و حل آن ها میتوان شکست و فرآیند رمزگشایی را روی آن انجام داد .

قصد داریم به استفاده از پایتون و کتابخانه Numpy یک رشته متنی را مقداری مبهم سازی کنیم ، بدون در نظر گرفتن کارا و یا امن بودن روش .

کد پایتون :

import numpy as np
import random
def factors_avg(x):
   factors = []
   for i in range(1, x + 1):
       if x % i == 0:
           factors.append(i)
   return factors[len(factors)/2]
string = "this_is_zero_to_hero_simple_usage_of_matrices_in_cryptography_using_numpy_and_psuedo_random_number"
print "String = ",string
encoded = []
string = list(string)
for i in range(0,len(string)):
	encoded.append(ord(string[i]))
print "ASCII List = ",encoded
if len(encoded)%2 != 0:
	encoded.append(0)
fact = factors_avg(len(encoded))
matrix = np.matrix(encoded).reshape(fact,len(encoded)/fact)
print "Reshaped Matrix = \n",matrix
random_key = random.randint(1,9)*random.randint(1000,9999)
print "Key = ",random_key
print "Matrix wiht applied Key = \n"
print (matrix+random_key)

کد بالا در واقع فقط دو عملیات ساده با ماتریس یعنی جمع و تغییر بُعد را داراست . این روش کاملا آسیب پذیر به BruteForce هست چون بازه تولید شده توسط اعداد بازه بزرگی نیست و لحاظ پیچیدگی زمانی حد بالای خطی را ایجاد میکند . همچنین با بررسی فراوانی عناصر در ماتریس میتوان هر عنصر را به یک حرف در زبان انگلیسی نگاشت ۱ به ۱ کرد و سپس به رمز گشایی کلی پرداخت .

خروجی کد بالا به شکل زیر هست :‌

String =  this_is_zero_to_hero_simple_usage_of_matrices_in_cryptography_using_numpy_and_psuedo_random_number
ASCII List =  [116, 104, 105, 115, 95, 105, 115, 95, 122, 101, 114, 111, 95, 116, 111, 95, 104, 101, 114, 111, 95, 115, 105, 109, 112, 108, 101, 95, 117, 115, 97, 103, 101, 95, 111, 102, 95, 109, 97, 114, 105, 99, 101, 115, 95, 105, 110, 95, 99, 114, 121, 112, 116, 111, 103, 114, 97, 112, 104, 121, 95, 117, 115, 105, 110, 103, 95, 110, 117, 109, 112, 121, 95, 97, 110, 100, 95, 112, 115, 117, 101, 100, 111, 95, 114, 97, 110, 100, 111, 109, 95, 110, 117, 109, 98, 101, 114]
Reshaped Matrix = 
[[116 104 105 115  95 105 115]
 [ 95 122 101 114 111  95 116]
 [111  95 104 101 114 111  95]
 [115 105 109 112 108 101  95]
 [117 115  97 103 101  95 111]
 [102  95 109  97 114 105  99]
 [101 115  95 105 110  95  99]
 [114 121 112 116 111 103 114]
 [ 97 112 104 121  95 117 115]
 [105 110 103  95 110 117 109]
 [112 121  95  97 110 100  95]
 [112 115 117 101 100 111  95]
 [114  97 110 100 111 109  95]
 [110 117 109  98 101 114   0]]
Key =  11736
Matrix wiht applied Key = 

[[11852 11840 11841 11851 11831 11841 11851]
 [11831 11858 11837 11850 11847 11831 11852]
 [11847 11831 11840 11837 11850 11847 11831]
 [11851 11841 11845 11848 11844 11837 11831]
 [11853 11851 11833 11839 11837 11831 11847]
 [11838 11831 11845 11833 11850 11841 11835]
 [11837 11851 11831 11841 11846 11831 11835]
 [11850 11857 11848 11852 11847 11839 11850]
 [11833 11848 11840 11857 11831 11853 11851]
 [11841 11846 11839 11831 11846 11853 11845]
 [11848 11857 11831 11833 11846 11836 11831]
 [11848 11851 11853 11837 11836 11847 11831]
 [11850 11833 11846 11836 11847 11845 11831]
 [11846 11853 11845 11834 11837 11850 11736]]